Однородный стержень массы m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов?

Aleksa161998 10 мая 2018 г., 19:26:53

В задаче не указано, можно ли пользоваться таким понятием, как «момент инерции», поэтому мы обойдём этот вопрос при помощи элементарного степенного интегрирования.

Итак.

Нам требуется найти наибольшее значение силы давления стержня на ось $\overline{P}$.

По третьему закону Ньютона эта сила равна и противоположна силе давления оси на стержень в любой момент времени, а значит, мы, с таким же успехом, можем искать именно силу давления оси на стержень $\overline{T}$.

Что мы и будем делать в решении.

Основные векторные построения и обозначения представлены на [рисунке 1]

При прокручивании на оси, стержень приобретает угловую скорость $\omega$, причём эта скорость нарастает, а значит, имеется угловое ускорение $\beta$, у которого есть простая кинематическая связь c тангенциальным ускорением $a_\tau = \frac{l}{2} \beta$ центра масс стержня, расположенного в его середине.

Здесь $l$ – длина стержня.

Помимо тангенциального ускорения у стержня есть и нормальное ускорение $\overline{a}_n$, направленное вдоль него к оси.

Это нормальное ускорение создаётся центростремительной силой, необходимой для удержания стержня, т.

Е. суммой продольных к стержню составляющих сил тяжести $\overline{mg}$ и давления оси на стержень $\overline{T}$.

Как легко понять из рисунка :

$\overline{a} = \frac{ \overline{mg} + \overline{T} }{m}$ ;

[img = 10] ;

[img = 11] : : : формула [1]

Теперь найдём ускорение [img = 12] , а для этого найдём его поперечную и продольную к стержню составляющие [img = 13] и [img = 14] :

[img = 15] : : : формула [2]

[img = 16] ;

[img = 17] : : : формула [3]

Теперь, как мы видим, нам необходимо найти угловую скорость.

Найдём её из закона сохранения энергии.

Потенциальная энергия, при прокручивании стержня на угол [img = 18] убывает на [img = 19] .

Кинетическую энергию в данном случае вычислить не так просто, поскольку каждый элемент стержня движется со своей скоростью, зависящей от того, насколько этот элемент удалён от центра вращения, так что близкие к оси его элементы имеют низкую скорость и малую кинетическую энергию, а удалённые – большую скорость и кинетическую энергию.

Элемент, отмеченный на рисунке, как [img = 20] имеет массу [img = 21] и скорость [img = 22] , значит, кинетическая энергия этого элемента : [img = 23].

Теперь для подсчёта всей кинетической энергии проинтегрируем эту элементарную кинетическую энергию по всей длине стержня :

[img = 24] ;

По закону сохранения энергии, убыль потенциальной энергии должна быть равна кинетической :

[img = 25] ;

[img = 26] ;

[img = 27] ;

[img = 28] : : : формула [4]

[img = 29] ;

Возьмём производную от этого уравнения :

[img = 30] ;

[img = 31] ;

[img = 32] ;

[img = 33] : : : формула [5]

Подставляя выражения [5] и [4] в формулы [2] и [3] получим

[img = 34] ;

[img = 35] ;

[img = 36] : : : формула [6]

[img = 37] : : : формула [7]

Теперь осталась самая главная часть задачи.

Поиск максимального значения силы давления оси на стержень [img = 38] ;

К этому вопросу можно подойти на трёх уровнях сложности и, соответственно – достоверности.

Далее везде в основной неподвижной (лабораторной) системе отсчёта будем считать, что ось Ox направлена направо, а ось Oy направлена вниз, в ту же сторону, что и ускорение.

(продолжение решения на скришотах ; формат сайта не позволил выложить более 5000 символов).

Zinovevaevgeniy 27 июл. 2018 г., 10:16:02 | 5 - 9 классы

Однородный стержень с прикрепленным на одном конце грузом массой 1, 2 т находится в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии 1 / 5 длины стержня от груза?

Однородный стержень с прикрепленным на одном конце грузом массой 1, 2 т находится в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии 1 / 5 длины стержня от груза.

Чему равна масса стержня?

Tune2012 30 сент. 2018 г., 03:43:44 | 5 - 9 классы

Стержень с прикрепленным на одном из его концов грузом массы m = 1, 2 кг находится в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии 1 / 5 длины стержня от груза?

Стержень с прикрепленным на одном из его концов грузом массы m = 1, 2 кг находится в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии 1 / 5 длины стержня от груза.

Найти вес стержня.

Йрщдд 15 окт. 2018 г., 20:44:43 | 5 - 9 классы

К концам лёгкого стержня длиной 60 см подвешены гири массами 100г и 500г?

К концам лёгкого стержня длиной 60 см подвешены гири массами 100г и 500г.

В какой точке нужно подвесить этот стержень, чтоб он был в равновесии в горизонтальном положении?

Freemangreydsfp 18 янв. 2018 г., 22:48:54 | 5 - 9 классы

Помогите, пожалуйста?

Помогите, пожалуйста.

Однородный стальной стержень длиной 2м равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов.

При какой угловой скорости вращения стержень разорвется?

Tat59361378 14 апр. 2018 г., 11:07:18 | 5 - 9 классы

К концам легкого стержня длиной 60 см подвещены гири массами 100 г и 500 г?

К концам легкого стержня длиной 60 см подвещены гири массами 100 г и 500 г.

В какой точке нужно подвесить этот стержень, чтоб он был в равновесии в горизонтальном положении.

Renata897 9 февр. 2018 г., 10:27:42 | 10 - 11 классы

На концах невесомого стержня длиной 1 м закреплены два небольших шарика массами 2 и 1 кг?

На концах невесомого стержня длиной 1 м закреплены два небольших шарика массами 2 и 1 кг.

(РИСУНОК) Стержень может вращаться относительно оси, проходящей через точку О.

В начальный момент наверху находится более тяжелый шарик.

Вследствие небольшого толчка стержень начинает вращаться.

Определите скорость шариков в тот момент, когда они поменяются местами.

284617 8 сент. 2018 г., 23:03:39 | 5 - 9 классы

К тонкому однородному стержню приложены силы F1 = 20 Н и F2 = 60Н?

К тонкому однородному стержню приложены силы F1 = 20 Н и F2 = 60Н.

Через какую точку должна проходить ось вращения, чтобы стержень находился в равновесии?

СашаГоликова 13 сент. 2018 г., 19:45:35 | 10 - 11 классы

4. Материальные точки массами 1 кг и 3 кг расположены на противоположных концах невесомого стержня длиной 1 м?

4. Материальные точки массами 1 кг и 3 кг расположены на противоположных концах невесомого стержня длиной 1 м.

Стержень приводится во вращение вокруг оси, перпендикулярной ему и проходящей через центр инерции системы, с угловой скоростью 2 рад / с.

Определите кинетическую энергию вращения системы.

Arthur5math 14 мар. 2018 г., 01:20:18 | 10 - 11 классы

Однородный тонкий стержень массой 0, 6 кг и длиной 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня?

Однородный тонкий стержень массой 0, 6 кг и длиной 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня.

В конец стержня попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально перпендикулярно стержню со скоростью 10 м / с и прилипает к стержню.

Масса шарика равна 20 г.

Найдите уг - ловую скорость стержня после попадания шарика.

С объяснением пжл.

Laban 17 дек. 2018 г., 13:55:40 | 5 - 9 классы

К концам легкого стержня длиной 60 см подвешены грузы массой 100 и 500 гр?

К концам легкого стержня длиной 60 см подвешены грузы массой 100 и 500 гр.

В какой точке нужно подвесить этот стержень, чтобы он находился в равновесии в горизонтальном положении?